Κυριακή, 12 Απριλίου 2020

10/4: σταθερή δύναμη σε αγωγό εντός ομογενούς μαγνητικού πεδίου


10/4/2020
Τα άκρα της μεταλλικής ράβδου ΚΛ μήκους ℓ=1m, μάζας m=1kg και αντίστασης R$_{ΚΛ}$=1Ω, βρίσκονται σε επαφή με δυο παράλληλους αγωγούς ΑΧ και ΓΨ μηδενικής αντίστασης.
Το επίπεδο που ορίζουν οι αγωγοί είναι κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β=1Τ. Μεταξύ των άκρων Α και Γ συνδέεται αντιστάτης με αντίσταση R=1Ω. Σε μια στιγμή ασκούμε στη ράβδο ΚΛ μια σταθερή οριζόντια  δύναμη μέτρου F=1Ν με αποτέλεσμα ο αγωγός να ολισθαίνει χωρίς τριβές προς τα δεξιά.
Α. Να βρείτε τη μαγνητική ροή που διέρχεται από το ορθογώνιο πλαίσιο ΑΚΛΓ σε συνάρτηση με την απόσταση ΑΚ=x και να εξηγήσετε γιατί η ράβδος ΚΛ διαρρέεται από ρεύμα.
Β. Να βρείτε τη φορά της έντασης του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη R.
Γ. Για τη στιγμή t$_{1}$ που η ράβδος έχει στιγμιαία ταχύτητα υ
$_{1}$=0,5m/s, να υπολογιστούν:
(i) Η ΗΕΔ από επαγωγή που εμφανίζεται στο πλαίσιο. (ii)  Η τάση V$_{ΚΛ}$. (iii) Η επιτάχυνση της ράβδου ΚΛ. (iv) Ο ρυθμός με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια στη ράβδο ΚΛ, μέσω της δύναμης F και ο ρυθμός με τον οποίο η ενέργεια αυτή μετατρέπεται σε ηλεκτρική. Είναι ή όχι ίσοι οι δυο παραπάνω ρυθμοί; Να εξηγήσετε τις ενεργειακές μετατροπές που εμφανίζονται τη στιγμή αυτή στο πλαίσιο.
Δ. (i) Να υπολογιστεί η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά η ράβδος ΚΛ (όταν t→∞). (ii) Όταν η ράβδος ΚΛ κινείται με την μέγιστη ταχύτητά της, ποια είναι η σχέση του ρυθμού μεταφοράς ενέργειας στη ράβδο ΚΛ, μέσω της δύναμης F, με τον ρυθμό παραγωγής θερμικής ενέργειας στους αντιστάτες;

Λύση:
Α. $\Phi=B S= B \ell x$ και η μαγνητική ροή αυξάνεται.
Σε χρόνο $dt$ ο αγωγός κινείται κατά $dx$ και η μαγνητική ροή που διέρχεται από το κύκλωμα (ΑΚΛΓ) αυξάνεται κατά $d \Phi =B \ell dx$, συνπεώς δημιουργείται ΗΕΔ από επαγωγή:
$\mathcal{E}_{επ}=|\frac{d\Phi}{dt}|=\frac{ B \ell dx}{dt}=B\ell v$
Το κύκλωμα διαρρέεται από επαγωγικό ρεύμα έντασης $I=\frac{\mathcal{E}_{επ}}{R_{ολ}}=\frac{B\ell v}{R_{ολ}}$
Β. Η φορά του επαγωγικού ρεύματος είναι τέτοια ώστε να αντιστέκεται στο αίτιο που την προκαλεί, την δύναμη $\vec{F}$:
Γ.  (i) για $v_{1}=0,5m/s$, $\mathcal{E}_{επ1}=B\ell v_{1}=0,5 V$.
(ii) $I_{1}=\frac{B\ell v_{1}}{R_{ολ}}=0,25 A$, $V_{ΚΛ}=V_{ΑΓ}=Ι_{1}R=0,25V$.
(iii)H επιτάχυνση προκύπτει από τον 2ο νόμο του Νεύτωνα: $a=\frac{ΣF}{m}=\frac{F-F_{L}}{m}=0,75 m/s^{2}$
(iv) Ο ρυθμός με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια στη ράβδο ΚΛ, μέσω της δύναμης F είναι: $P_{F}=\frac{dW_{F}}{dt}=\frac{F dx}{dt}=F v_{1}=0,5 J/s$.
Ο ρυθμός με τον οποίο η ενέργεια μετατρέπεται σε ηλεκτρική είναι: $P_{F_{L}}= \frac{dW_{F_{L}}}{dt}=\frac{F_{L} dx συν180^{ο}}{dt}=-F_{L} v_{1}=-0,125 J/s $ και μετατρέπεται σε θερμική λόγω του φαινομένου Joule στις αντιστάσεις του κυκλώματος. [Ο ρυθμός παραγωγής θερμότητας στους αντιστάτες είναι: $\frac{dQ_{R_{ολ}}}{dt}=P_{R_{ολ}}=I_{1}^{2}R_{ολ}=0,125 J/s$].
Την χρονική στιγμή $t_{1}$ η δύναμη F μεταφέρει στη ράβδο 0,5J/s, εκ των οποίων τα 0,125J/s μετατρέπονται σε θερμική ενέργεια στις αντιστάσεις του κυκλώματος και τα υπόλοιπα 0,375J/s αντιστοιχούν στην αύξηση της κινητικής ενέργειας της ράβδου ΚΛ.
Πράγματι: $ \frac{dK}{dt}=\frac{dW_{ΣF}}{dt}=\frac{(F-F_{L}) dx}{dt}=-(F-F_{L}) v_{1}=0,375 J/s $.
Δ. (i) Η ράβδος ΚΛ επιταχύνεται (με μειούμενο ρυθμό) και τo μέτρο της δύναμης Laplace αυξάνεται ανάλογα με το μέτρο της ταχύτητας: $F_{L}=BI \ell=\frac{B^{2}v \ell^{2}}{R_{ολ}}$. Όταν η δύναμη Laplace $\vec{F}_{L}$ αποκτήσει ίσο μέτρο με την δύναμη $\vec{F}$, τότε
$Σ\vec{F}=\vec{0}$ και η ράβδος ΚΛ θα κινείται με σταθερή ταχύτητα $v=v_{ορ}$.
Έχουμε: $F_{L}=F \Rightarrow BI \ell=\frac{B^{2}v_{ορ} \ell^{2}}{R_{ολ}}=F \Rightarrow v_{ορ}=\frac{F R_{ολ}}{Β^{2} \ell^{2}}=2m/s$
(ii) Η ταχύτητα $v_{ορ}=2m/s$ είναι η σταθερή (και η μέγιστη ταχύτητα) που θα αποκτήσει η ράβδος ΚΛ μετά από πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα. Τότε θα ισχύει: $P_{F}=\frac{dW_{F}}{dt}=\frac{F dx}{dt}=F v_{ορ}=2 J/s$. Επίσης $I=\frac{B\ell v_{ορ}}{R_{ολ}}=1 A$ και $\frac{dQ_{R_{ολ}}}{dt}=P_{R_{ολ}}=I_{ορ}^{2}R_{ολ}=2 J/s$. Δηλαδή η ενέργεια που δίνει η δύναμη F μέσω του έργου της, μετατρέπεται εξ' ολοκλήρου σε θερμότητα στους αντιστάτες του κυκλώματος, αφού δεν αυξάνεται πλέον η κινητική ενέργεια της ράβδου.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου