Παρασκευή, 10 Απριλίου 2020

9/4: φθίνουσα ταλάντωση αγωγού σε μαγνητικό πεδίο


9/4/2020
Η αγώγιμη ράβδος ΚΛ μηδενικής αντίστασης, μάζας m=2kg και μήκους ℓ=1m είναι δεμένη στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού μονωμένου ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο στο έδαφος. Τα άκρα Κ και Λ συνδέονται με κατακόρυφους αγωγούς μηδενικής αντίστασης ΑΧ και ΓΨ έτσι ώστε ο αγωγός ΚΛ να ολισθαίνει σε συνεχή επαφή με αυτούς χωρίς τριβές. Τα άκρα των αγωγών Α και Γ συνδέονται με αντιστάτη R=2,5Ω, ενώ τα κάτω άκρα Χ και Ψ στηρίζονται στο έδαφος και είναι μονωμένα. To σύστημα βρίσκεται μέσα σε οριζόντιο ομογενές μαγνητικό πεδίο Β=1Τ. Ο αγωγός ΚΛ, που αρχικά ισορροπεί, απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας και αφήνεται ελεύθερος να κινηθεί.
Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Δίνεται g=10m/s$^{2}$.
Α. Να δείξετε ότι η ράβδος ΚΛ θα εκτελέσει φθίνουσα ταλάντωση με δύναμη απόσβεσης F=–bυ, όπου b σταθερά και υ η ταχύτητα της ράβδου και να υπολογιστεί η σταθερά απόσβεσης b.
Β. Σε ποιά θέση θα ηρεμήσει (θέση ισορροπίας) τελικά η ράβδος ΚΛ, όταν ολοκληρωθεί η φθίνουσα ταλάντωσή του;
Σε κάποια χρονική στιγμή t$_{1}$ η ΚΛ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας κινούμενη προς τα πάνω με ταχύτητα υ$_{1}$=5m/s.

Γ. Την χρονική στιγμή t
$_{1}$, να υπολογιστούν: (i) Η επιτάχυνση α$_{1}$ (ii) Η ενέργεια ταλάντωσης (iii) Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας ταλάντωσης.
Δ. Μετά από λίγο, τη στιγμή t
$_{2}$ η ράβδος ΚΛ φτάνει στη με απομάκρυνση x=1m (θετική φορά προς τα πάνω), με μηδενική ταχύτητα. Για τη στιγμή t$_{2}$, να βρεθούν η επιτάχυνση, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται η ενέργεια ταλάντωσης εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης.
Ε. Πόση είναι η μηχανική ενέργεια που εμφανίζεται ως θερμική από τη στιγμή t
$_{1}$, μέχρι τη χρονική στιγμή t$_{2}$;
ΣΤ. Μια άλλη χρονική  στιγμή t
$_{χ}$ η ράβδος ΚΛ περνά από τη θέση x=$-$0,5m κινούμενο προς τα κάτω με ταχύτητα μέτρου υ=3,2m/s. Ποια από τις επόμενες ανισότητες ισχύει για τις χρονικές στιγμές t$_{1}$, t$_{2}$, t$_{χ}$;                                         
    (i)  t
$_{1}$ < t$_{2}$ < t$_{χ}$,    (ii)  t$_{1}$ < t$_{χ}$ < t$_{2}$,    (iii)  t$_{χ}$ < t$_{1}$ < t$_{2}$.
 Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
[Απ:   Α) $ΣF=-kx-\frac{B^{2}\ell^{2}}{R}v$,
$b=\frac{B^{2}\ell^{2}}{R}=0,4 kg/s$   B) στην αρχική Θ.Ι.   Γ) $α_{1}=-1m/s^{2}$, $E=25J$, $dE/dt=-10J/s$  
Δ)  $α_{2}=-10/m/s^{2}=-g$, $dE/dt=0$    E) 15J     ΣΤ) t$_{1}$ < t$_{χ}$ < t$_{2}$]

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου