Πέμπτη, 9 Απριλίου 2020

9/4: μόνο περιστροφική κίνηση

9/4/2020 
Δύο ομογενείς δίσκοι με ακτίνες R$_{1}$=0,3 m και R$_{2}$=0,2 m έχουν στερεωθεί μεταξύ τους με τέτοιο τρόπο ώστε τα κέντρα τους να είναι το ένα πάνω από το άλλο και να αποτελούν ένα συμπαγές στερεό σώμα.

Η ροπή αδράνειας του συστήματος των δύο δίσκων είναι ίση με I= 0,25 kg·m$^{2}$ .(ως προς κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από τα κέντρα των δίσκων).
Ο μεγαλύτερος δίσκος ακουμπά σε λείο οριζόντιο τραπέζι. Νήματα αμελητέας μάζας είναι τυλιγμένα γύρω από τους δύο δίσκους και είναι συνδεδεμένα μέσω τροχαλιών αμελητέας μάζας με δύο σώματα με μάζες m$_{1}$=5 kg και m$_{2}$, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα νήματα δεν ολισθαίνουν στους δίσκους.
Να υπολογίσετε την τιμή της άγνωστης μάζας m$_{2}$, για την οποία ο άξονας που διέρχεται από τα κέντρα των δίσκων παραμένει ακίνητος.

Υπόδειξη:
Αφού το στερεό σώμα (που σχηματίζουν οι δυο δίσκοι) δεν εκτελεί μεταφορική κίνηση, θα ισχύει $Σ\vec{F}=\vec{0} \Rightarrow \vec{Τ}_{1}=\vec{Τ}_{2}=\vec{Τ}$, όπου $\vec{Τ}_{1}$ και $\vec{Τ}_{2}$, οι οριζόντιες δυνάμεις που ασκούν τα νήματα στο στερεό (στο σχήμα που ακολουθεί βλέπουμε την κάτοψη του στερεού)
Για το στερεό σώμα θα ισχύει επίσης: $Στ_{cm}=T(R_{1}-R_{2}=Ia_{γ}$ (1)
Για την μάζα $m_{1}$: $m_{1}g-T=m_{1}a_{1}=m_{1}R_{1}a_{γ}$  (2)
Για την μάζα $m_{2}$: $T-m_{2}g=m_{2}a_{2}=m_{2}R_{2}a_{γ}$  (3}
Συνδυάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις παίρνουμε ... μετά από κάποιες πράξεις $m_{2}=2,5kg$.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου