Τετάρτη, 8 Απριλίου 2020

8/4/: Κύλιση στερεών σωμάτων σε πλάγιο επίπεδο

8/4/2020 
Στο τμήμα του μη λείου πλάγιου επιπέδου αφήνουμε να κυλίσουν τέσσερα ομογενή στερεά σώματα – έναν σφαιρικό φλοιό, μια συμπαγή σφαίρα, έναν κυλινδρικό φλοιό και έναν συμπαγή κύλινδρο. Το πέμπτο σώμα, ο κύβος, ολισθαίνει απλά χωρίς τριβές στον τελευταίο και λείο διάδρομο του πλάγιου επιπέδου.Όλα τα σώματα βρίσκονται στο ίδιο ύψος από το οριζόντιο επίπεδο.

Να βρείτε την σειρά τερματισμού των σωμάτων στην κατώτερη θέση του κεκλιμένου επιπέδου.
Yπόδειξη:
Ο κύβος αποδεικνύεται πολύ εύκολα ότι ολισθαίνει με επιτάχυνση $a_{cm}=g\sin θ$, όπου θ η γωνία του πλάγιου επιπέδου.
Για τα υπόλοιπα τέσσερα στερεά, θεωρώντας τους θεμελιώδεις νόμους της μηχανικής (για μεταφορική και στροφική κίνηση), βρίσκουμε ότι κυλίονται έτσι ώστε το κέντρο μάζας τους να έχει επιτάχυνση:
$a_{cm}=\frac{g\sin θ}{1+\frac{I_{cm}}{mR^{2}}}=\frac{g\sin\beta}{1+\lambda}$
Παρατηρείστε ότι η επιτάχυνση των στερεών εξαρτάται μόνο από τον συντελεστή λ στον τύπο της ροπής αδράνειάς τους Ι=λmR$^{2}$.
Έτσι, για τον συμπαγή κύλινδρο προκύπτει $a_{cm}=\frac{2g\sin θ}{3}$
για τον κυλινδρικό φλοιό $a_{cm}=\frac{g\sin θ}{2}$
για την συμπαγή σφαίρα $a_{cm}=\frac{5g\sin θ}{7}$
και για τον σφαιρικό φλοιό $a_{cm}=\frac{3g\sin θ}{5}$

Αν επικεντρωθούμε σε ένα από τα στερεά που κυλάνε π.χ. τον κύλινδρο, διαπιστώνουμε πως στην επιτάχυνσή του δεν παίζει ρόλο ούτε η μάζα, ούτε η ακτίνα, ούτε το πλάτος του!

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου