Τετάρτη, 8 Απριλίου 2020

7/4: Μηχανική ενέργεια και στροφορμή

7/4/2020
Στο σχήμα τα δυο σώματα έχουν μάζες $m_{1}=m_{2}=m$ και είναι δεμένα με αβαρές νήμα που διέρχεται από την οπή του οριζοντίου επιπέδου στο σημείο Κ. Το σώμα $m_{1}$ αρχικά απέχει απόσταση $R_{0}$ από την οπή Κ και του δίνουμε αρχική ταχύτητα $v_{0}=\sqrt{2gR_{0}}$, κάθετη στην απόσταση από το κέντρο Κ.
Να βρείτε το μέγιστο ύψος στο οποίο θα ανέλθει το $m_{2}$. 
Τριβές δεν υπάρχουν. Δίνεται $R_{0}=1m$.
Υπόδειξη:
Η στροφορμή της μάζας $m_{1}$ ως προς Κ διατηρείται σταθερή (γιατί;): $m_{1}v_{0}R_{0}=m_{1}v_{1} R_{1} \Rightarrow v_{1}=v_{0} \frac{R_{0}}{R_{1}}$, όπου $R_{1}=h_{max}+R_{0}$ (Για την συγκεκριμένη αρχική ταχύτητα η τάση του νήματος, που παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου για την $m_{1}$, είναι μεγαλύτερη από το βάρος της $m_{2}$. Γι αυτό η $m_{2}$ θ' αρχίσει να ανεβαίνει. Η τροχιά της $m_{1}$ στη συνέχεια δεν θα είναι κυκλική, αλλά αυτό δεν μας απασχολεί. Το νήμα παραμένει συνεχώς τεντωμένο. Μόλις η μάζα $m_{2}$ φτάσει στο μέγιστο δυνατό ύψος, η ταχύτητά της γίνεται στιγμιαία μηδέν, οπότε η ταχύτητα της $m_{1}$ θα είναι αναγκαστικά κάθετη στην απόσταση από το Κ...).
Eφόσον δεν υπάρχουν τριβές, η μηχανική ενέργεια του συστήματος διατηρείται σταθερή:
$\frac{1}{2}m_{1}v_{0}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}g(R_{1}-R_{0})$ και αντικαθιστώντας την $v_{1}$, έχουμε $v_{0}^{2}=\frac{v_{0}^{2} R_{0}^{2}}{R_{1}^{2}}+2g(R_{1}-R_{0})$, απ'  όπου για $v_{0}=\sqrt{2gR_{0}}$, παίρνουμε μετά από πράξεις: $R_{1}=$1,618$R_{0}$. Επομένως $h_{max} \cong 0,6m$ (Ποια θα είναι στη συνέχεια η εξέλιξη του φαινομένου; )

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου