Δευτέρα, 6 Απριλίου 2020

4/4: Μηχανή Atwood και ταλάντωση

 4/4/2020
Η τροχαλία του σχήματος είναι ομογενής με μάζα Μ=20 kg και ακτίνα R=10cm. Τα σώματα Σ$_{1}$ και Σ$_{2}$ έχουν μάζες $m_{1}$ = 20kg και $m_{2}$ =10kg.
Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονά της είναι $Ι = ½ ΜR^{2 }$ και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s$^{2}$.  Το βάρος  του νήματος θεωρείται αμελητέο. Η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο σκοινί είναι αρκετά μεγάλη ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση.
Α. Την χρονική στιγμή t=0, όταν οι δυο μάζες βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο  επίπεδο, το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί χωρίς αρχική ταχύτητα. Να υπολογίσετε την γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας την χρονική στιγμή που η βαρυτική δυναμική ενέργεια του συστήματος έχει μειωθεί κατά 10J.
Β. Τα μέτρα της στροφορμής της τροχαλίας $L_{τροχ}$ και της στροφορμής $L_{2}$ της μάζας $m_{2}$
, ως προς τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της τροχαλίας συνδέονται με την σχέση:
         (i) $L_{τροχ} > L_{2}$  (ii) $L_{τροχ} < L_{2}$ (iii) $L_{τροχ} = L_{2}$  (iv) εξαρτάται από την χρονική στιγμή
Να επιλέξετε την σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.
Γ. Να προσδιορίσετε τον ρυθμό μεταβολής της συνολικής στροφορμής του συστήματος (ως προς τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της τροχαλίας).
Δ. Στη συνέχεια η μάζα $m_{2}$ συνδέεται με το άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθερά k=1000N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο στο οριζόντιο επίπεδο, όπως στο παρακάτω σχήμα, έτσι ώστε το σύστημα να ισορροπεί.

(i) Nα υπολογιστεί η παραμόρφωση του ελατηρίου $Δℓ_{0}$.
Απομακρύνουμε την μάζα $m_{2}$ από τη θέση ισορροπίας κατακόρυφα προς τα κάτω κατά Δψ=5cm, και την χρονική στιγμή t=0 αφήνεται να κινηθεί.
(ii) Nα αποδείξετε ότι οι μάζες $m_{1}$ και $m_{2}$ θα εκτελέσουν απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης.
(iii) Nα προσδιορίσετε την κινητική ενέργεια της τροχαλίας την χρονική στιγμή $t_{1}$=π/5 s.

Απαντήσεις:
Α. Εργαζόμενοι όπως στο πρόβλημα 4.63 (σελ. 145) του σχολικού βιβλίου παίρνουμε για την επιτάχυνση με την οποία κινούνται οι μάζες $m_{1}$ και $m_{2}$: $a=\frac{(m_{1}-m_{2})g}{m_{1}+m_{2} + \frac{M}{2}}=2,5m/s^{2}$.
Όταν το σύστημα κινείται η μάζα $m_{2}$ ανεβαίνει και η $m_{2}$ κατεβαίνει ίση απόσταση $Δy$. Θεωρώντας ότι η αρχική βαρυτική δυναμική ενέργεια των μαζών ήταν μηδέν θα έχουμε: $ΔU=-10J$ ή $U_{τελ}-U_{αρχ}=(-m_{1}gΔy+m_{2}gΔy)-0=-10J$ και $Δy=0,1m$.
Όμως $v=at$ και $Δy=\frac{1}{2}at^{2}$ και $v=\sqrt{2aΔy}=\frac{1}{\sqrt{2}}m/s$. H γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας θα είναι $ω=v/R=5\sqrt{3} r/s$ 
B. H στροφορμή της τροχαλίας θα είναι $L_{τ}=Ιω=I \cdot a_{γ}t=\frac{1}{2}MR^{2} \frac{a}{R}t=\frac{1}{2}MR \cdot a \cdot t$
H στροφορμή της μάζας $m_{2}$ είναι $L_{2}=m_{2} \cdot v \cdot R= m_{2}a\cdot R \cdot t$ και δεδομένου ότι $Μ=2m_{2}$, ;άρα σωστή απάντηση είναι η (iii).
Γ.   $\frac{d(L_{1}+L_{2}+L_{τ})}{dt}=10kg\frac{m^{2}}{s^{2}}$
Δ. Στην θέση ισορροπίας για την μάζα $m_{2}$ ισχύει $kΔ\ell_{1}+m_{2}g=T_{2}$, όπου $Δ \ell_{1}$, η επιμήκυνση του ελατηρίου από το φυσικό τους μήκος. Επίσης $T_{1}=T_{2}=m_{1}g$, οπότε $Δ\ell_{1}=\frac{(m_{1}-m_{2})g}{k}=0,1m$.
Απομακρύνοντας την μάζα $m_{2}$ κατά $ψ$ προς τα κάτω η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σ' αυτήν είναι: $ΣF_{2}=F'_{ελ}+m_{2}g-T_{2}=k ( Δ \ell_{1}-ψ)+m_{2}g-T_{2}=m_{1}g-kψ-Τ_{2}=m_{2}a$ (1)
Για την μάζα $m_{1}$ ισχύει: $m_{1}g-T_{1}=m_{1}a$  (2)
και για την τροχαλία $(Τ_{1}-Τ_{2})R=\frac{1}{2}MR^{2} \frac{a}{R}$ (3)
Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (1), (2) και (3) παίρνουμε μετά από πράξεις: $ΣF_{2}=-\frac{k}{1+\frac{m_{1}+M/2}{m_{2}}}ψ=-Dψ$, επομένως η μάζα $m_{2}$ (άρα και η $m_{1}$) εκτελεί α.α.τ. με $ω=\sqrt{\frac{D}{m_{2}}}=5 r/s$. Για $t_{1}$=π/5 s εύκολα προκύπτει ότι $υ=0$, οπότε η κινητική ενέργεια της τροχαλίας είναι μηδέν.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου