Σάββατο, 4 Απριλίου 2020

3/4 - Κατακόρυφη δύναμη σε νήμα που είναι τυλιγμένο σε κύλινδρο

3/4/2020
Σε ομογενή κύλινδρο ακτίνας R και μάζας Μ=2kg είναι τυλιγμένο λεπτό, αβαρές και μη εκτατό νήμα. Ο κύλινδρος είναι αρχικά ακίνητος σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή οριακής τριβής μ$_{ορ}$=μ=1/3. Την χρονική στιγμή t=0 ασκούμε στο ελεύθερο άκρο του νήματος κατακόρυφη δύναμη μέτρου F=3N, οπότε ο κύλινδρος αρχίζει να κυλίεται (… χωρίς να ολισθαίνει) στο οριζόντιο επίπεδο. Η δύναμη και το ξετυλιγμένο νήμα παραμένουν συνεχώς κατακόρυφα. Το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει στην επιφάνεια του κυλίνδρου.
Να υπολογίσετε:
Α. την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου
Β. την μέγιστη τιμή της δύναμης F, έτσι ώστε ο κύλινδρος να μην ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο.
Γ. Σε ποια χρονική στιγμή t$_{x}$ η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου γίνεται 1,5J;
Δ. Πόσο ξετυλίχθηκε το νήμα μέχρι την χρονική στιγμή t$_{x}$. Πόση είναι η οριζόντια μετατόπιση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου την ίδια χρονική στιγμή;
Ε. Έστω ότι ο κύλινδρος την χρονική στιγμή t=0 βρισκόταν σε επαφή και με κατακόρυφο τοίχο ίδιου συντελεστή οριακής τριβής με το οριζόντιο δάπεδο.

Για ποια τιμή της κατακόρυφης δύναμης F ο κύλινδρος θ’ αρχίσει να κινείται;
Δίνονται: η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχεται από τα κέντρα των βάσεών του Ι$_{cm}$ = ½ MR$^{2}$ και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s$^{2}$. 

Απαντήσεις:
Α. Οι δυνάμεις που δέχεται ο κύλινδρος εκτός της δύναμης F, είναι η στατική τριβή $Τ_{σ}$, το βάρος και η κάθετη δύναμη στήριξης Ν.
Για την μεταφορική κίνηση του κυλίνδρου ισχύει:  
$ΣF_{y}=0 \Rightarrow N+F=w$  (1)
$ΣF_{x}=ma_{cm} \Rightarrow T_{σ}=Ma_{cm}$ (2)
Για την στροφική κίνηση ισχύει:
$Στ_{cm}=I_{cm}a_{γ} \Rightarrow (F-T_{σ})R=\frac{1}{2}MR^{2}$ (3)
και επειδή ο κύλινδρος κυλίεται: $a_{cm}=a_{γ}R$  (4)
Από τις (2), (3) και (4) παίρνουμε: $a_{cm}=\frac{2F}{3M}=1\frac{m}{s^{2}}$
B. Eφόσον ο κύλινδρος δεν ολισθαίνει θα ισχύει $T_{σ} \leq μ \cdot N$ και λόγω των (1) και (2) $Ma_{cm} \leq μΜg-μF \Rightarrow F \leq \frac{3μ_{ορ}Mg}{2+3μ_{ορ}}$  (5)
Επομένως η μέγιστη τιμή ώστε ο κύλινδρος να μην ολισθαίνει είναι $F_{max}=20/3 \cong 6,67N$.
Γ. Η κινητική ενέργεια είναι: $K=\frac{1}{2}Mv_{cm}^{2}+\frac{1}{2}I_{cm}ω^{2}$ και δεδομένου ότι $v_{cm}=ωR$, τελικά $K=\frac{3Mv_{cm}^{2}}{4}$. Αντικαθιστώντας παίρνουμε $v_{cm}=1m/s$. Αλλά $v_{cm}=a_{cm}t_{x}$ οπότε $t_{x}=1s$,
Δ, Το σημείο του νήματος στο οποίο ασκείται η κατακόρυφη δύναμη F εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με $a_{νημ}=a_{cm}$ (γιατί;), και $Δy=\frac{1}{2} a_{cm}t_{x}^{2}=0,5m$. Ίδια θα είναι και η οριζόντια μετατόπιση του κέντρου μάζας.
Ε. Οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο φαίνονται στο παρακάτω σχήμα:
Την οριακή στιγμή που ο κύλινδρος είναι "έτοιμος" να κινηθεί τα μέτρα των στατικών τριβών θα έχουν τις μέγιστες τιμές τους: $T_{1}=μN_{1}$ και $Τ_{2}=μN_{2}$. Εφόσον είμαστε οριακά λίγο πριν την κίνηση θα ισχύουν:
$ΣF_{x}=N_{2}-T_{1}=0$ , $ΣF_{y}=F+T_{2}+N_{1}-w=0$ και $Στ_{cm}=F R+T_{1}R-T_{2}R=0$. Aπό τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει F=40/7N.

Συμπληρωματικά με τα παραπάνω, δείτε το πρόβλημα 18 (Κεφ. 4-Επαναληπτικά προβλήματα - Θέμα Δ) στο studyforexams 
και το κύλινδρος εν γωνία στο ylikonet

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου