Τρίτη, 7 Απριλίου 2020

3/4: Ο κύκλος του Brayton

3-4-2020
Το ιδανικό αέριο θερμικής μηχανής εκτελεί την κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή του σχήματος (δυο ισοβαρείς και δυο αδιαβατικές).  

 Να υπολογίσετε τον συντελεστής απόδοσης της μηχανής συναρτήσει των μεγεθών P$_{1}$, P$_{2}$ και γ (γ είναι η σταθερή που εμφανίζεται στην εξίσωση της αδιαβατικής μεταβολής $PV^{γ}=$σταθ.) 
 Yπόδειξη:
  •     Σε μια ισοβαρή μεταβολή εφαρμόζοντας τον Α' θερμοδυναμαικό νόμο αποδείξτε ότι:  $Q=\frac{5}{2}nRΔΤ$.
  •     Για τις αδιαβατικές μεταβολές ΒΓ και ΔΑ ισχύει: $P_{1}V_{B}^{γ}=P_{2}V_{Γ}^{γ}$ και $P_{1}V_{Α}^{γ}=P_{2}V_{Δ}^{γ}$. Χρησιμοποιώντας την καταστατική εξίσωση των αερίων δείξτε ότι:$\left( \frac{P_{2}}{P_{1}} \right)^{\frac{γ-1}{γ}}=\frac{T_{Γ}}{Τ_{Β}}$ και $\left( \frac{P_{2}}{P_{1}} \right)^{\frac{γ-1}{γ}}=\frac{T_{Δ}}{Τ_{Α}}$
Aπάντηση:
Αν σε μια ισοβαρή μεταβολή εφαρμόσουμε τον Α' θερμοδυναμαικό νόμο παίρνουμε: $Q=ΔU+W=\frac{3}{2}nRΔΤ+P(V_{τελ}-V_{αρχ}=\frac{3}{2}nRΔT+nRΔT$ ή $Q=\frac{5}{2}nRΔΤ$. 

Ο συντελεστής απόδοσης του παραπάνω κύκλου θα είναι $e=1-\frac{|Q_{c}|}{Q_{h}}$, όπου $Q_{h}=Q_{AB}=\frac{5}{2}nR(T_{B}-T_{A})$ και $|Q_{c}|=|Q_{ΓΔ}|=\frac{5}{2} nR(T_{Γ}-Τ_{Δ})$ (εναλλάξαμε την θέση των θερμοκρασιών ώστε η διαφορά τους να είναι θετικός αριθμός). Έτσι, ο συντελεστής απόδοσης θα είναι:   $e=1-\frac{Τ_{Γ}-Τ_{Δ}}{Τ_{Β}-Τ_{Α}}$   (1)
Για τις αδιαβατικές μεταβολές ΒΓ και ΔΑ ισχύει: $P_{1}V_{B}^{γ}=P_{2}V_{Γ}^{γ}$ και $P_{1}V_{Α}^{γ}=P_{2}V_{Δ}^{γ}$. Χρησιμοποιώντας την καταστατική εξίσωση των αερίων διώχνουμε τους όγκους και παίρνουμε:
$P_{1}\left(\frac{nRT_{B}}{P_{1}} \right)^{γ}=P_{2}\left(\frac{nRT_{Γ}}{P_{2}} \right)^{γ}$ ή $\left( \frac{P_{2}}{P_{1}} \right)^{γ-1}=\left( \frac{T_{Γ}}{Τ_{Β}} \right)^{γ}$ ή $\left( \frac{P_{2}}{P_{1}} \right)^{\frac{γ-1}{γ}}=\frac{T_{Γ}}{Τ_{Β}}$  (2)  
Προμοίως $P_{1}\left(\frac{nRT_{Α}}{P_{1}} \right)^{γ}=P_{2}\left(\frac{nRT_{Δ}}{P_{2}} \right)^{γ}$ ή $\left( \frac{P_{2}}{P_{1}} \right)^{\frac{γ-1}{γ}}=\frac{T_{Δ}}{Τ_{Α}}$  (3)
Συνεπώς από τις (2) και (3) προκύπτει:  $\frac{T_{Δ}}{Τ_{Α}}=\frac{Τ_{Γ}}{Τ_{Β}}=\left( \frac{P_{2}}{P_{1}} \right)^{\frac{γ-1}{γ}}=\frac{Τ_{Γ}-Τ_{Δ}}{Τ_{Β}-Τ_{Α}}$ και
αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε:   $e=1- \left( \frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\frac{γ-1}{γ}}$.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου