Σάββατο, 18 Απριλίου 2020

2.1.2 Το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας

Υπάρχουν διάφορα είδη ενέργειας: η κινητική ενέργεια, η δυναμική (ελαστική, βαρυτική, ηλεκτροστατική κ.ά) ενέργεια, η θερμική ενέργεια (θερμότητα) κ.λ.π. Μονάδα μέτρησης της ενέργειας στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (S.I.) είναι το 1 Joule (ίδια με την μονάδα μέτρησης του έργου). H ενέργεια, όπως και το έργο, είναι μονόμετρο φυσικό μέγεθος.
Αρχικά θα εξετάσουμε την κινητική ενέργεια.

Κινητική Ενέργεια είναι η ενέργεια που έχει κάθε σώμα που κινείται. Δίνεται από τη σχέση:
Κ=$\frac{1}{2}$mυ$^{2}$
όπου m η μάζα του σώματος και υ η ταχύτητά του.

Γιατί η κινητική ενέργεια υπολογίζεται από την εξίσωση Κ=$\frac{1}{2}$mυ$^{2}$;

Έστω, ένα σώμα μάζας m που αρχικά ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο ασκείται μια οριζόντια σταθερή δύναμη F. Το σώμα σε κάποια χρονική στιγμή έχει μετατοπιστεί κατά Δx και αποκτά ταχύτητα υ. Το έργο της δύναμης ισούται με $W_{F}=F \cdot Δx$. 
Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα $F=ma$ και 
$W_{F}=m a Δx$  (1) 
 H κίνηση του σώματος είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη: 
$v=at$ και $Δx=\frac{1}{2}at^{2}$. 
Αντικαθιστούμε την μετατόπιση στην εξίσωση (1) και παίρνουμε:
 $W_{F}=ma \frac{1}{2}at^{2}=\frac{1}{2}m(a \cdot t)^{2} \Rightarrow W_{F}=\frac{1}{2}mv^{2}$. 
Η ποσότητα $K=\frac{1}{2}mv^{2}$ εκφράζει την κινητική ενέργεια που απέκτησε το σώμα εξαιτίας της δύναμης F που έδρασε σ' αυτό και ισούται με το έργο της δύναμης. 

Θεώρημα Έργου - Ενέργειας
Το παραπάνω αποτέλεσμα γενικεύεται σ' οποιαδήποτε περίπτωση, όπου σ' ένα σώμα δρουν πολλές δυνάμεις και η κινητική του ενέργεια μεταβάλλεται, διατυπώνοντας την πρόταση: “Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των δυνάμεων που δρουν πάνω του ή, ισοδύναμα, είναι ίση με το έργο της συνισταμένης δύναμης”.  Δηλαδή: 
$ΔΚ=Κ_{τελική} -Κ_{αρχική}= W_{F_{1}}+W_{F_{2}}+ \dots = W_{ΣF}$
Την παραπάνω γενίκευση έχει επικρατήσει να την ονομάζουμε “Θεώρημα της κινητικής ενέργειας” ή “Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας”. 
Με το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας μπορούμε να υπολογίζουμε την κινητική ενέργεια ή την ταχύτητα ενός σώματος. Επίσης έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε το έργο μίας άγνωστης δύναμης ή μίας μεταβλητής δύναμης. Αρκεί για το σκοπό αυτό να γνωρίζουμε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος στο οποίο δρα η δύναμη. 


Παράδειγμα 1:
Η μπάλα μάζας m του παρακάτω σχήματος αφήνεται να πέσει χωρίς αρχική ταχύτητα προς τα κάτω και αφού μετατοπιστεί κατά Δx=h, αποκτά ταχύτητα υ

Να επαληθεύσετε το Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας αποδεικνύοντας ότι το έργο του βάρους ισούται με την μεταβολή της κινητικής ενέργειας της μπάλας.
Απάντηση:
Η μπάλα εκτελεί ελεύθερη πτώση, επομένως: $v=gt$ και $h=\frac{1}{2}gt^{2}$. 
Η κινητική ενέργεια θα είναι: $K=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}mg^{2}t^{2}$
Το έργο του βάρους είναι: $W_{B}=B \cdot Δx \cdot συν0^{ο}=Β \cdot h= m g \cdot h =mg \frac{1}{2}gt^{2}=\frac{1}{2}mg^{2}t^{2}$
Παρατηρούμε ότι $W_{B}=ΔΚ=Κ_{τελ}-0=\frac{1}{2}mv^{2}$, όπως ακριβώς περιμέναμε να ισχύει σύμφωνα με το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας.

Παράδειγμα 2: 
Ένας μαθητής ρίχνει κατακόρυφα προς τα πάνω μια μπάλα καλαθοσφαίρισης μάζας m=1kg. Η μπάλα αφού φτάσει στο υψηλότερο σημείο της τροχιάς της, σε ύψος h=2m, επανέρχεται διανύοντας την ίδια απόσταση και συναντά το χέρι του μαθητή: 

(α) Πόση κινητική ενέργεια έχει η μπάλα όταν επιστρέφει στο χέρι του μαθητή; Πόση είναι τότε η ταχύτητά της; 
(β) Αν διπλασιασθεί το ύψος που πετά ο μαθητής τη μπάλα, διπλασιάζεται η κινητική ενέργεια και η ταχύτητά της;
Δίνεται g=10m/s$^{2}$
Απάντηση:
(α) Σύμφωνα με το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχουμε:
 ΔΚ = W$_{Β}$     ή     Κ$_{τελ}$ = m g h
 και με αντικατάσταση των τιμών των μεγεθών m, g, h προκύπτει:
 Κ$_{τελ}$ = 20Joule.
 Αλλά η κινητική ενέργεια είναι $Κ= \frac{1}{2}mv^{2}$ και με αντικατάσταση βρίσκουμε:
 $v=\sqrt{40}$m/s
(β) Ομοίως αν h′=2h = 4m, έχουμε:
Κ′$_{τελ}$ = W$_{B}$  ή  Κ′$_{τελ}$ = m g h′  και με αντικατάσταση Κ′$_{τελ}$ = 40Joule.


Παράδειγμα 3: 
Ένα σώμα μάζας m=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο κατά μήκος του άξονα ενός ιδανικού ελατηρίου με ταχύτητα $v_{0}=\sqrt{2}$m/s, όπως στο σχήμα:

Το σώμα πέφτει στο ελατήριο, το οποίο αρχίζει να συσπειρώνεται, ενώ το ίδιο επιβραδύνεται. Κάποια στιγμή, η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται στιγμιαία (το ελατήριο είναι ιδανικό και θεωρούμε ότι δεν έχει μάζα). Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης του ελατηρίου. 
Απάντηση:  
Η δύναμη του ελατηρίου δεν έχει σταθερό μέτρο. Για τα ιδανικά ελατήρια ισχύει ο νόμος του Hooke F=kx, όπου x η συσπείρωση ή η επιμήκυνση του ελατηρίου). Αν γνωρίζαμε την σταθερά k που χαρακτηρίζει την σκληρότητα του ελατηρίου και την μέγιστη συσπείρωση Δℓ του ελατηρίου, όταν η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται, τότε από το εμβαδόν του διαγράματος F-x θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το έργο (υπενθυμίζεται ότι για τα ιδανικά ελατήριαο ισχύει ο νόμος του Hooke F=kx, όπου x η συσπείρωση ή η επιμήκυνση του ελατηρίου):
Το έργο ισούται με το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου ορθογωνίου τριγώνου: $|W_{F_{ελ}}|=\frac{1}{2}Δℓ \cdot kΔℓ=\frac{1}{2}kΔℓ^{2}$ (κρατήστε στην μνήμη σας τον τύπο αυτό!). Αλλά δεν γνωρίζουμε ούτε την σταθερά του ελατηρίου ούτε την συσπείρωσή του.
Γι'  αυτό θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας:

Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα (δύναμη ελατηρίου Fελ, βάρος Β και κάθετη δύναμη στήριξης N): $ΔΚ=Κ_{τελική} -Κ_{αρχική}= W_{Β}+W_{Ν}+ W_{F_{ελ}} \Rightarrow 0-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=0+0+ W_{F_{ελ}}$. Δεδομένου ότι η τελική κινητική ενέργεια είναι μηδέν και οι δυνάμεις Β και Ν είναι κάθετες στην μετατόπιση (συνεπώς το έργο τους είναι μηδέν), αντικαθιστώντας προκύπτει: $W_{F_{ελ}}=-2$Joules. Παρατηρείστε ότι το έργο είναι αρνητικό, κάτι που περιμέναμε, αφού η κατεύθυνση της δύναμης σχηματίζει γωνία 180$^{ο}$ με την μετατόπιση. 

Διαβάστε επίσης από το σχολικό βιβλίο την παράγραφο "2.1.2 Έργο βάρους και μεταβολή της κινητικής ενέργειας"

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου