Τρίτη, 21 Απριλίου 2020

Επαναληπτική άσκηση 1ης εργασίας

Ένα πολύ μικρό σώμα μάζας m=2kg αφήνεται (χωρίς $υ_{0}$) από το σημείο A που βρίσκεται σε ύψος h=0,8m από το έδαφος και κινείται κατά μήκος του λείου κεκλιμένου επιπέδου ΑΓ. Κατόπιν το σώμα κινείται στο οριζόντιο επίπεδο, όπου και τελικά σταματάει λόγω της τριβής (συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και οριζοντίου επιπέδου μ=0,5), αφού διανύσει τη διαδρομή ΓΔ.
Α. (i) Με ποια ταχύτητα φτάνει το σώμα στο σημείο Γ; (ii) Να υπολογίσετε και να συγκρίνετε τις ποσότητες $(\frac{1}{2}mv_{Γ}^{2})$ και $(Β\cdot h)$, όπου Β το βάρος του σώματος.
Β. (i) Να υπολογίσετε την απόσταση ΓΔ (ii) Αν Τρ είναι η δύναμη της τριβής ολίσθησης που ασκείται στο σώμα να υπολογίσετε την ποσότητα (Τρ$\cdot$ ΓΔ).
Γ. Αν $t_{ΑΓ}$ είναι ο χρόνος μετάβασης του σώματος από το Α στο Γ και $t_{ΓΔ}$ ο χρόνος μετάβασης από το Γ στο Δ, για ποια τιμή της γωνίας θ ισχύει $t_{ΑΓ} = t_{ΓΔ}$;
 Δίνεται g=10m/s$^{2}$
 Απαντήσεις:
Α. (i) Σημειώστε ότι ημθ=h/(ΑΓ) ή $(ΑΓ)=\frac{h}{ημθ}$ (1)
Οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα καθώς ολισθαίνει κατά μήκος του λείου κεκλιμένου επιπέδου είναι το βάρος του Β και η κάθετη δύναμη στήριξης Ν από το πλάγιο επίπεδο. Αναλύουμε το βάρος σε δυο συνιστώσες, την Βx=Bημθ=mgημθ και Βy=mgσυνθ.Σύμφωνα με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα: Βx=mα ή mgημθ=mα, οπότε α=gημθ. Η κίνηση κατά μήκος του πλάγιου επιπέδου θα είναι Ε.Ο.Επιταχυνόμενη.

Θα ισχύουν: (ΑΓ)=$\frac{1}{2}g ημθ t_{ΑΓ}^{2}$  (2) και $v_{Γ}=g ημθ t_{ΑΓ}$ ή $t_{ΑΓ}= \frac{v_{Γ}}{g ημθ}$ (3)
Από τις εξισώσεις (1) και (3) αντικαθιστούμε στην (2) και παίρνουμε: $\frac{h}{ημθ}=\frac{1}{2}g ημθ \frac{v^{2}_{Γ}}{g^{2} ημ^{2}θ}$. Απλοποιώντας προκύτπει: $h=\frac{v^{2}_{Γ}}{2g}$ ή
$v_{Γ}=\sqrt{2gh}$=4m/s.
2ος τρόπος
Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας από το σημείο Α έως το Γ παίρνουμε: $Κ_{τελ}-Κ_{αρχ}=W_{Bx} +W_{By}+W_{N}$.
Όμως, $Κ_{αρχ}=0$,  $Κ_{τελ}=\frac{1}{2}mv_{Γ}^{2}$, $W_{Bx}=mg ημθ (ΑΓ)=mgh$,  και $W_{By}=W_{N}=0$ διότι οι δυνάμεις αυτές είναι κάθετες στην μετατόπιση. Αντικαθιστώντας στο ΘΜΚΕ παίρνουμε: $v_{Γ}=\sqrt{2gh}$=4m/s.
(ii) H ποσότητα $(\frac{1}{2}mv_{Γ}^{2})$=16Joules είναι η κινητική ενέργεια του σώματος στη θέση Γ και $(Β\cdot h)=mgh$=16Joules είναι το έργο του βάρους από το Α στο Γ (και η δυναμική βαρυτική ενέργεια στην θέση Α).

Β. (i) Από το σημείο Γ στο σημείο Δ το σώμα επιβραδύνεται εξαιτίας της τριβής.
ΣFy=0 => N$_{1}$=B=mg και Τ=μΝ$_{1}$=μmg
ΣFx=-Τ=mα ή -μmg=ma ή α=–μg=-5m/s$^{2}$. Άρα $v=v_{Γ}-|a| t$ και η ταχύτητα μηδενίζετει σε χρόνο $t_{ΓΔ}=\frac{v_{Γ}}{|α|}=$0,8s και το σώμα διανύει την απόσταση $ΓΔ=v_{Γ}t_{ΓΔ}- \frac{1}{2} |a|t_{ΓΔ}^{2}=1,6 m$
2ος τρόπος
Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας από το σημείο Γ έως το Δ παίρνουμε: $Κ_{Δ}-Κ_{Γ}=W_{Τ} +W_{B}+W_{N_{1}}$ ή $-\frac{1}{2}mv_{Γ}^{2}=Τ(ΓΔ) συν180^{ο}$ ή $\frac{1}{2}mv_{Γ}^{2}=μmg(ΓΔ)$ και ΓΔ=1,6m.
(ii) (Τρ$\cdot$ ΓΔ)=μmg(ΓΔ)=16 Joules. H ποσότητα αυτή ισούται με την απόλυτη τιμή του έργου της τριβής και την κινητική ενέργεια στην θέση Γ.

Γ.  Θέλουμε $t_{ΑΓ} = t_{ΓΔ}$. Αλλά βρήκαμε $t_{ΓΔ}=$0,8s και σύμφωνα με την εξίσωση (3) $t_{ΑΓ}= \frac{v_{Γ}}{g ημθ}$, οπότε ημθ=0,5. Συνεπώς θ=30$^{ο}$.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου