Σάββατο, 28 Μαρτίου 2020

28-3: Περιστροφή συστήματος ράβδου-σφαιριδίου

28-3-2020
Λεπτή ομογενής ράβδος μάζας Μ και μήκους L μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της (το σημείο Ο στο σχήμα). Στο άλλο άκρο της ράβδου, είναι στερεωμένο σφαιρίδιο μάζας m.

Την χρονική στιγμή t=0 που το σύστημα ράβδου-σφαιριδίου αφήνεται να κινηθεί από την οριζόντια θέση,  
Α.  να υπολογίσετε την γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος συναρτήσει των μεγεθών m, M, g και L
Β. να εξηγήσετε γιατί η δύναμη που δέχεται η μάζα από τη ράβδο  έχει πάντα φορά προς τα κάτω;
Γ. Στη συνέχεια στερεώνουμε τη μάζα m σε σημείο που απέχει απόσταση d από τον άξονα περιστροφής (το σημείο Ο).
Tο σύστημα ράβδου-σφαιριδίου αφήνεται πάλι να κινηθεί χωρίς αρχική ταχύτητα από την οριζόντια θέση. 
Για ποιές τιμές του d (συναρτήσει του L) η δύναμη που δέχεται η μάζα από την ράβδο την χρονική στιγμή t=0 είναι μηδέν;  
Τριβές δεν υπάρχουν. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της που περνά από το κέντρο μάζας της I$_{cm}$ =$\frac{ΜL^{2}}{12}$. 

Λύση:
Α. Την χρονική στιγμή t=0 για το σύστημα ράβδος-m ισχύει $Στ_{(O)}=Μg \frac{L}{2}+mgL=I_{(O)}α_{γ}$. H ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο Ο υπολογίζεται εφαρμόζoντας το θ. Steiner: $I_{ρ,(O)}=I_{cm}+M \frac{L^{2}}{4}=\frac{1}{3}ML^{2}$, οπότε η ροπή αδράνειας μάζας-ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το Ο: $I_{(Ο)}=\frac{1}{3}ML^{2}+mL^{2}$. Aντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση εύκολα προκύπτει ότι: $α_{γ}=\frac{3g(M+2m)}{2(M+3m)L}$ 
Β. Αν η μάζα m έπεφτε ελεύθερα μόνη της τότε $a_{m}=g$. 
    Aν στη ράβδο δεν ήταν προσαρμοσμένη η μάζα m, τότε η γωνιακή της επιτάχυνση την χρονική στιγμή t=0 θα ήταν  $α_{γ,ρ}=\frac{3g}{2L}$ (στην εξίσωση του ερωτήματος Α θέτουμε m=0).  Έτσι, το άκρο της ράβδου θα έχει (επιτρόχιο) επιτάχυνση $a_{επ,ρ}=La_{γ,ρ}=\frac{3g}{2}=1,5g$.
Συνεπώς το άκρο της ράβδου (την στιγμή t=0), τείνει να κινηθεί με μεγαλύτερη επιτάχυνση από την μάζα, οπότε "συμπαρασύρει" στην κίνησή της την μάζα m, οπότε της ασκεί μια δύναμη προς τα κάτω.
Γ. Όταν η μάζα m απέχει απόσταση d από το Ο έχουμε για το σύστημα ράβδος-m: $Στ_{(O)}=Μg \frac{L}{2}+mgd=(\frac{1}{3}ML^{2}+md^{2})α_{γ}$ (1)
Για την μάζα m ισχύει: $Στ_{m,(O)}=mgd+F_{ψ}d=md^{2}α_{γ}$  (2)
όπου $F_{ψ}$ η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η ράβδος στην μάζα m.
Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (1) και (2) προκύπτει ότι $F_{ψ}=mg\frac{ML(d/2 - L/3)}{ML^{2}/3+md^{2}}$ (3) 
Αφού η οριζόντια συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η ράβδος στην μάζα m την χρονική στιγμή t=0 είναι μηδέν (γιατί; - θυμηθείτε ότι η ταχύτητα την χρονική στιγμή t=0 είναι μηδέν...)
από την εξίσωση (3) παρατηρούμε ότι η δύναμη που ασκεί η ράβδος στην μάζα m γίνεται μηδέν για d=2L/3.
Επιπλέον, όταν d>2L/3 έχει φορά προς τα κάτω, ενώ όταν d<2L/3 φορά προς τα πάνω).  

 Ξεφυλλίστε και αυτό: "Ξεσκόνισμα των ράβδων"




Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου