Τετάρτη, 18 Μαρτίου 2020

Έργο κατά τη στροφική κίνηση


Έστω ότι η δύναμη F δρα στο σημείο Α του σώματος παραμένοντας κάθετη στην ΟΑ. Το σώμα, σε χρόνο dt, στρέφεται κατά γωνία dφ, διαγράφοντας τόξο dS.

Το στοιχειώδες έργο κατά τα γνωστά είναι: dW = F·dS
Επειδή το σημείο εφαρμογής της δύναμης διαγράφει το στοιχειώδες κυκλικό τόξο dS=(OA)·dφη παραπάνω εξίσωση γίνεται: dW=F·(OAdφ. Δεδομένου ότι η ροπή της δύναμης είναι τ=F·(ΟΑ), προκύπτει το στοιχειώδες έργο της ροπής:  
                                                        dW=τ·dφ
Αν η ροπή δρα για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα τότε το έργο της είναι το άθροισμα των στοιχειωδών έργων, δηλαδή: 
W=ΣdW=Σ τ·dφ (ή για να μη μας κράζουν οι μαθηματικοί $W=\int dW = \int τ \cdot dφ$).
Αν η ροπή είναι σταθερή ($τ=$σταθ.) τότε:
                                                       $W_{τ}=τ \cdot φ$

Ερώτηση: Ομογενής και ισοπαχής ράβδος μήκους $\ell$ και βάρους w=mg στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Αρχικά η ράβδος είναι οριζόντια και στη συνέχεια αφήνεται ελεύθερη.
 Γιατί είναι λάθος να ισχυριστούμε πως το έργο της ροπής του βάρους, μέχρι η ράβδος να γίνει κατακόρυφη, είναι $W=τ \cdot φ=mg \frac{\ell}{2} \frac{\pi}{2}$; 

 Ισχύς
Προηγουμένως δείξαμε ότι το έργο της ροπής μιας δύναμης F για μια στοιχειώδη γωνιακή μετατόπιση dφ είναι $dW=τ \, dφ$. Αν dt η στοιχειώδης διάρκεια της μετατόπισης, τότε $\frac{dW}{dt}=τ\frac{dφ}{dt}$ ή $P=τ \cdot ω$, όπου P η ισχύς και ω η γωνιακή ταχύτητα. 
(Είναι φανερή η αναλογία με την γνωστή σχέση στην μεταφορική κίνηση: $P=F \cdot v$).

Το ΘΜΚΕ στην στροφική κίνηση

Μια σταθερή ροπή $τ$ ασκείται σε ένα στερεό σώμα το οποίο εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από οριζόντιο άξονα.
Το σώμα εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη στροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση $α_{γων}=τ/Ι$, όπου $Ι$ η ροπή αδράνειας του στερεού σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής. Θα ισχύουν οι εξισώσεις: $ω=ω_{0}+α_{γων}t$ και $φ=ω_{0}t+\frac{1}{2}α_{γων}t^{2}$. Απαλείφοντας τον χρόνο από τις δυο τελευταίες εξισώσεις πάιρνουμε: $ω^{2}-ω_{0}^{2}=2α_{γων}φ$. Αντικαθιστώντας στην τελευταία σχέση  την γωνιακή επιτάχυνση με$α_{γων}=τ/Ι$, παίρνουμε: $ω^{2}-ω_{0}^{2}=2\frac{τ}{Ι}φ$ ή
$\frac{1}{2}Ιω^{2}-\frac{1}{2}Iω_{0}^{2}=τ\cdot φ=W_{τ}$
(Είναι φανερή η αναλογία με το ΘΜΚΕ στην μεταφορική κίνηση: $\frac{1}{2}mv^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=F\cdot x=W_{F}$).

Διαβάστε επίσης την παράγραφο §4-10 (έργο κατά τη στροφική κίνηση) και από το σχολικό βιβλίο

 Το έργο ροπής σε PowerPoint:

παράδειγμα: Ένας ομογενής κύλινδρος κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) υπό την επίδραση της σταθερής οριζόντιας δύναμης $\vec{F}$ που ασκείται στο κέντρο του κυλίνδρου, όπως στο σχήμα
Αν ο κύλινδρος μετατοπιστεί κατά x, τότε:

Α. Να δείξετε ότι  $ΔΚ_{ολ}=F \cdot x$, όπου $ΔΚ_{ολ}=ΔΚ_{μετ} +ΔΚ_{περ}$ (το άθροισμα της μεταβολής μεταφορικής και περιστροφικής ενέργειας)
Β.  Το έργο της στατικής τριβής μετατρέπεται σε θερμότητα;




 επιστροφή στα περιεχόμενα της Γ' Λυκείου


Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου