Τρίτη, 17 Μαρτίου 2020

Η έννοια του έργου

§ 2.1.1 ΕΡΓΟ

Έργο δύναμης σταθερού μέτρου F ονομάζουμε το γινόμενο της δύναμης επί την μετατόπιση Δx, του σημείου εφαρμογής της, επί το συνημίτονο της γωνίας θ που σχηματίζει η δύναμη με την μετατόπιση: $W_{F}=F\,\Delta x\,$συνθ. 
Mονάδα μέτρησης του έργου στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (S.I.) είναι το 1Joule=1N$\cdot$m
Σύμφωνα με την παραπάνω εξίσωση, το έργο μιας δύναμης ανάλογα με την γωνία θ μπορεί να είναι: 
(i) θετικό (W>0), όταν 0 ≤ θ < 90o
Άν η δύναμη έχει ίδια διεύθυνση και φορά με την μετατόπιση, δηλ. θ=0o, τότε $W_{F}=F\cdotΔx$, αφού συν0o=1.
(ii) αρνητικό (W<0), όταν 90o < θ ≤ 180o
Άν θ=180o, η δύναμη έχει ίδια διεύθυνση αλλά αντίθετη φορά με την μετατόπιση, τότε $W_{F}=-F\cdotΔx$, αφού συν180o=$-1$.
(iii) μηδέν (W=0), όταν θ = 90o, η δύναμη είναι κάθετη στη μετατόπιση, δεδομένου ότι συν90o=0.
Το θετικό έργο εκφράζει την ενέργεια που προσφέρεται στο σώμα που ασκείται η δύναμη, ενώ το αρνητικό έργο εκφράζει την ενέργεια που αφαιρείται από το σώμα.

 
Υπολογίστε διαδραστικά τα έργα διαφόρων δυνάμεων (πατήστε ΕΔΩ)
Με το ποντίκι μπορείτε να μεταβάλλετε το μέτρο της δύναμης, την μετατόπιση και την γωνία που σχηματίζει η δύναμη με την μετατόπιση. Δοκιμάστε, οπωσδήποτε τις γωνίες μεταξύ δύναμης-μετατόπισης: φ=0$^{ο}$, 90
$^{ο}$(δύναμη κάθετη στη μετατόπιση), και 180$^{ο}$.
 
παράδειγμα 1
 Ένας μαθητής ρίχνει κατακόρυφα προς τα πάνω μια μπάλα καλαθοσφαίρισης βάρους Β=10Ν. Η μπάλα αφού διανύσει απόσταση h=0,8m, φτάνει στο υψηλότερο σημείο της τροχιάς της και στη συνέχεια επανέρχεται στην αρχική της θέση, όπως βλέπουμε στο σχήμα.
Να υπολογιστούν: Α. το έργο της δύναμης του βάρους κατά την άνοδο. Β. το έργο της δύναμης του βάρους κατά την κάθοδο.
Αγνοείστε την αντίσταση του αέρα. Δίνεται συν$180^{0}=-1$
Απάντηση:
A. Καθώς η μπάλα ανέρχεται η δύναμη του βάρους B σχηματίζει γωνία θ=180o με την μετατόπιση Δx=h. Το έργο του βάρους κατά την άνοδο θα είναι: $W_{B}=B\, h$συν$180^{ο}=-B h=-8J$.
B. Όταν η μπάλα κατεβαίνει η δύναμη του βάρους σχηματίζει γωνία θ=0o με την μετατόπιση και $W_{B}=B\,h$συν$0^{0}=+B\,h=+8J$. Παρατηρούμε ότι το συνολικό έργο του βάρους για ολόκληρη την (κλειστή) διαδρομή ισούται με μηδέν!

παράδειγμα 2
Το σώμα του σχήματος μετακινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε οριζόντιο επίπεδο κατά x=5m, με την επίδραση οριζόντιας δύναμης F=10Ν και τριβής Tρ=10Ν. Να υπολογίσετε τα έργα: 
Α. της δύναμης F Β. της τριβής Γ. της κάθετης αντίδρασης του επιπέδου Δ. του βάρους. 
Απάντηση:
$W_{F}=F\,x\,$συν$0^{ο}=50J$, 
$W_{T}=T\,x\,$συν$180^{ο}=-50J$. 
Το έργο των δυνάμεων που είναι κάθετες στην μετατόπιση ισουται με μηδέν: $W_{N}=0=W_{βάρους}$.

Έργο δύναμης μεταβλητού μέτρου F
Αν μια σταθερή δύναμη F μετακινεί το σημείο εφαρμογής της κατά τη διεύθυνσή της (θ =0o), τότε παρατηρούμε ότι το έργο της είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδό που περικλείεται κάτω από την γραφική παράσταση της δύναμης συναρτήσει της μετατόπισης. 
Το εμβαδό του σκιασμένου παραλληλογράμμου είναι:
Εμβαδόν=(ΟΓ) (OA) = $W_{F}=F\cdot Δx$
Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε ότι το έργο της δύναμης είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου, που περικλείεται από τη γραμμή που αποδίδει τη δύναμη και τους αντίστοιχους άξονες:


Αυτό ισχύει κι όταν το μέτρο της δύναμης δεν είναι σταθερό. Έτσι, όταν το μέτρο μιας δύναμης μεταβάλλεται με την μετατόπιση (και σχηματίζει γωνία θ=0$^{ο}$ με την μετατόπιση), το έργο της μπορεί να υπολογιστεί από το εμβαδόν του αντίστοιχου σχήματος, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα:
Αυτό ισχύει γιατί μπορούμε να φανταστούμε το εμβαδόν ισοδύναμο με το άθροισμα εμβαδών πολύ μικρών παραλληλογράμμων (δηλαδή, άθροισμα έργων σταθερών δυνάμεων). Όσο πιο πολλά μικρά παραλληλόγραμμα θεωρούμε (πολλές διαμερίσεις της μετατόπισης) τόσο πιο κοντά φτάνουμε στο ακριβές εμβαδόν κάτω από την γραφική παράσταση και στο έργο της μεταβλητής δύναμης.

Υπολογίστε διαδραστικά το εμβαδόν κάτω από την γραφική παράσταση δύναμης-μετατόπισης θεωρώντας πολλά μικρά παραλληλόγραμμα (πατήστε ΕΔΩ)

Παρατηρήστε ότι όσο οι διαμερίσεις αυξάνονται το εμβαδόν τείνει προς το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου (το οποίο ισούται με το έργο της μεταβλητής δύναμης).

παράδειγμα 3
Ένα σώμα μετατοπίζεται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση οριζόντιας δύναμης F μεταβλητού μέτρου. Το μέτρο της δύναμης μεταβάλλεται όπως φαίνεται στο διάγραμμα.
Να υπολογιστεί το έργο της μεταβλητής δύναμης:  
Α. για οριζόντια μετατόπιση x=2m 
Β. για οριζόντια μετατόπιση x= 4m 
Απάντηση:
Α. για οριζόντια μετατόπιση x=2m,  $W_{F}=$εμβαδόν(ΟΑΒ)$=\frac{2\cdot10}{2}=10J$. 
B. για οριζόντια μετατόπιση x=4m,
$W_{F}=$εμβαδόν τραπεζίου(ΟΑΓΔ)=$\frac{β+Β}{2}$(ύψος)$=\frac{2+4}{2}10=30J$


γενικότερο σχόλιο: Σε ένα σώμα μάζας m που αρχικά ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο ασκείται μια οριζόντια σταθερή δύναμη F. Το σώμα σε κάποια χρονική στιγμή έχει μετατοπιστεί κατά Δx και αποκτά ταχύτητα υ. 
Το έργο της δύναμης ισούται με $W_{F}=F \cdot Δx$. 
Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα $F=ma$ και $W_{F}=m a Δx$  (1) 
 H κίνηση του σώματος είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη: $v=at$ και $Δx=\frac{1}{2}at^{2}$. Απαλείφοντας τον χρόνο από τις δυο τελευταίες εξισώσεις παίρνουμε: $Δx=\frac{v^{2}}{2a}$. Aντικαθιστώντας στην εξίσωση (1) παίρνουμε: $W_{F}=ma \frac{v^{2}}{2a}=\frac{1}{2}mv^{2}$. Η ποσότητα $K=\frac{1}{2}mv^{2}$ εκφράζει την κινητική ενέργεια που απέκτησε το σώμα εξαιτίας της δύναμης F που έδρασε σ' αυτό και ισούται με το έργο της δύναμης. 


διαβάστε περισσότερα από το σχολικό βιβλίο στην παράγραφο §2.1.1 Η έννοια του έργου (πατήστε ΕΔΩ)

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου