Κυριακή, 29 Μαρτίου 2020

29/3 - η γωνιακή ταχύτητα ράβδου

 Μια λεπτή ομογενής ράβδος μάζας μήκους L=1,2m μπορεί να κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της A. Η ράβδος αρχικά είναι οριζόντια και αφήνεται να κινηθεί. Τριβές και αντίσταση αέρα αμελητέες. Δίνεται g=10m/s$^{2}$ και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας της I$_{cm}$ =$\frac{ΜL^{2}}{12}$.

Α. Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν αυτή διέρχεται από την κατακόρυφη διεύθυνση. 
Β. Στη συνέχεια επαναλαμβάνουμε το ίδιο πείραμα, αλλά με την ράβδο να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο που απέχει απόσταση x=0,2m από το κέντρο μάζας της ράβδου.
Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν διέρχεται από την κατακόρυφη διεύθυνση. 
Γ. Για ποια τιμή του x η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν διέρχεται από την κατακόρυφη θέση είναι μέγιστη; 
Λύση:
Α. από Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας, θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής ενέργειας την αρχική οριζόντια θέση της ράβδου παίρνουμε: $0=-Μg\frac{L}{2}+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}ML^{2})ω^{2}$, όπου από θ. Steiner προέκυψε η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς Ο $I_{(Ο)}=\frac{1}{3}ML^{2}$. 
Eύκολα έχουμε ότι $ω=\sqrt{3g/L}=5r/s$.
Β. Τώρα η ροπή αδράνειας της ράβδου θα είναι $I_{(O)}=\frac{1}{12}ML^{2}+Mx^{2}$. Χρησιμοποιώντας πάλι την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας παίρνουμε: $ω=\sqrt{\frac{2gx}{\frac{L^{2}}{12}+x^{2}}}$ (1)
Αντικαθιστώντας παίρνουμε $ω=5r/s$ (όπως και πριν!!!).
Αν μπορούσαμε να κάνουμε την γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας συναρτήσει του x, τότε θα βλέπαμε πως η τιμή ω=5r/s αντιστοιχεί στις δυο τιμές x=0,2m και x=0,6m (η περίπτωση του ερωτήματος Α).

Γ. Για να αποφύγουμε την παραγώγιση, αναδιατάσσοντας την εξ. (1) παίρνουμε: 
$2gx=(\frac{L^{2}}{12}+x^{2})ω^{2}$ ή $ω^{2}x^{2}-2gx+\frac{L^{2}ω^{2}}{12}=0$
Δεδομένου ότι η απόσταση x είναι πραγματικός αριθμός πρέπει η διακρίνουσα του τριωνύμου ως προς x να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν: $Δ\geq0 \Rightarrow ω^{4}\leq\frac{12g^{2}}{L^{2}}$, άρα η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα θα είναι: $ω_{max}=\sqrt[4]{\frac{12g^{2}}{L^{2}}}$. 
Γι' αυτή την τιμή το τριώνυμο θα έχει μια διπλή ρίζα: $x=\frac{L}{2\sqrt{3}}$.
Διαβάστε τώρα και το "που πρέπει να θέσουμε την άρθρωση;"

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου